5 videó - 2007

A fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlődés tapasztalható. Az elnevezést 1975-ben Benoît Mandelbrot adta, a latin fractus (vagyis törött; törés) szó alapján, ami az ilyen alakzatok tört számú dimenziójára utal, bár nem minden fraktál tört dimenziós (ilyenek például a síkkitöltő görbék).
Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész. Ilyen bizonyos léptékig például a természetben a villám mintázata, a levél erezete, a felhők formája, a hópelyhek alakja, a hegyek csipkézete, a fa ágai, a hullámok fodrozódása és még sok más. A fraktál szóval rendszerint az önhasonló alakzatok közül azokra utalnak, amelyeket egy matematikai formulával le lehet írni, vagy meg lehet alkotni.

Ismertebb fraktálok és fraktálcsaládok: Mandelbrot-halmaz, Julia-halmaz, Koch-görbe, Cantor-szőnyeg.

A geometriában hagyományosan egy görbe egy-, egy felület két-, és egy térbeli test háromdimenziós. Az úgynevezett fraktálhalmazok esetén a dimenzió nem adható meg ilyen egyszerűen: ha közelítőleg kiszámítunk egy fraktális vonalat, akkor a kép egyre jobban kitölti a síkot, és az egy dimenziós vonal egyre közelebb kerül ahhoz, hogy kétdimenzióssá váljon.
Mandelbrot a Hausdorff-dimenziót használva megállapította, hogy a legtöbb fraktálkép dimenziója nem egész. Az általánosított dimenziónak ezt a változatát fraktáldimenziónak is nevezzük.

Ennek alapján Mandelbrot a következő definíciót adta a fraktálokra:
„A fraktál olyan halmaz, aminek a Hausdorff-dimenziója nagyobb, mint a Lebesgue-dimenziója.”
Ahol a vonal Lebesgue-dimenziója egy, a felületé kettő, és így tovább. Ez alapján számítva a fraktálok hossza vagy felszíne végtelen. A Hausdorff-dimenziót szemléletesen az adja, hogy hány példányra van szükség az adott alakzatból ahhoz, hogy kirakjuk az alakzat egy nagyobb példányát. Ez csak szabályos fraktál esetén alkalmazható. Például a Sierpinski-háromszög, ami önmagának három felére kicsinyített példányából áll.

Minden tört dimenziójú halmaz fraktál. A megfordítás nem igaz, egy fraktál dimenziója lehet egész: ilyen például a Peano-görbe.